אתר תמיכה במתמטיקה

משפטים:

משפט: זווית הקפית הנשענת על קוטר שווה ל-90.

נצייר מעגל ובו קוטר וזווית הקפית הנשענת עליו
1. נחבר את מרכז המעגל עם קודקוד הזווית ההקפית.
נשים לב שנוצרו לנו 2 משולשים שווי שוקיים שכל שוק היא בעצם רדיוס.
2. נציב את הזוויות x,y כמתואר בסרטוט.
3. בגלל שהמשולשים שווי שוקיים נסמן את הזוויות השוות ב-x,y לפי השוויו בין הזוויות.
סה"כ סכום הזוויות במשולש הוא 2x+2y. אבל הוא גם שווה ל-180. לכן נשווה:
2x+2y = 180 /:2
x+y = 90
הזווית ההקפית שווה ל-x+y ולכן שווה ל-90. מש"ל

משפט: זווית היקיפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותו מיתר

נצייר מעגל ובו מיתר, זווית הקפית וזווית מרכזית הנשענות על מיתר זה.
1. נקרא לזווית ההקפית x. מה שאומר שאנו צריכים להוכיח שהזווית המרכזית שווה ל-2x.
2. 2 השוקיים של הזווית המרכזית הן בעצם רדיוסים של המעגל,
לכן ניצור זווית הקפית אשר אחת מצלעותיה היא קוטר העובר דרך אחת השוקיים של הזווית המרכזית.
לפי משפט (שגם הוכחנו מקודם), זווית היקיפית הנשענת על קוטר שווה ל-90 מעלות.
סכום זוויות במשולש הוא 180 ולכן הזווית ליד סעיף 3 שווה ל 90 מינוס x.
3. בגלל שהשוקיים של הזווית המרכזית שוות, נוצר עם המיתר משולש שווה שוקיים.
לכן ישנן 2 זוויות השוות ל90 מינוס x.
4. סכום הזוויות במשולש הוא 180, ולכן לפי חישוב פשוט, מצאנו שהזווית המרכזית שווה ל2x.
מש"ל

משפט: שני משיקים למעגל אשר יוצאים מאותה נקודה, שווים.

נסרטט מעגל, נקודה מחוץ למעגל ושני משיקים למעגל היוצאים מהנקודה.
1. נשרטט 2 רדיוסים אשר עוברים דרך נקודות ההשקה. הרדיוסים שווים.
2. נשרטט קו ישר העובר בנקודה שבחרנו מחוץ למעגל ובמרכז המעגל. הקו הזה שווה לעצמו.
3. הרדיוס שעובר בנקודת ההשקה מאונך למשיק.
לכן נוצרו לנו 2 זוויות ישרות ושוות. במשולש יש 3 זוויות וסכומן 180. לכן לא יכולה להיות זווית הגדולה מהן במשולשים בהם הן נמצאות.
ע"פ משפט חפיפה צ.צ.ז (מסעיף 1 - צלע, מסעיף 2 - צלע, ומסעיף 3 - זווית הגדולה ביותר במשולשים) חופפים את 2 המשולשים.
4. לפי החפיפה הנ"ל מוצאים שהמשיקים שווים (צמב"ח).
מש"ל

משפט: זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההקפית הנשענת על אותו מיתר מצידו השני.

נשרטט מעגל, משיק למעגל, מיתר העובר בנקודת ההשקה וזווית היקיפית הנשענת על המיתר.
1. נסמן את הזווית בין המשיק למיתר ב-x.
2. ניצור את הזווית המרכזית הנשענת על המיתר.
שוקי הזווית המרכזית הן רדיוסים, ולכן, השוק העוברת בנק ההשקה מאונכת למשיק.
לכן ע"פ חיסור זוויות נסמן את הזווית שבין המיתר לרדיוס ב-90 מינוס x.
3. המשולש שבו הזווית המרכזית הוא משולש שווה שוקיים שהשוקים בו הן הרדיוסים של המעגל.
לכן ישנן 2 זוויות השוות ל-90 מינוס x.
סכום הזוויות במשולש הוא 180, ולכן לפי חישוב פשוט, מצאנו שהזווית המרכזית שווה ל2x.
4. אם הזווית המרכזית שווה ל-2x הזווית ההקפית שווה ל-x.
מש"ל.